Föreläsning 3 — 26-03

Talföljder

En oändlig följd av reella tal $a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots$ kallas för en (reell) talföljd och betecknas ${a_{j}}_{j = 1}^{\infty}$

Vi kan även definiera en talföljd rekursivt som

a_{j} = a_{j - 1} + a_{j - 2}

$j$ behöver inte börja på $1$ utan kan börja på något annat tal som $14$ : ${a_{j}}_{j = 14}^{\infty}$ . Blir samma sak som ${a_{j} + 13}_{j = 1}^{\infty}$

Talföljders egenskaper

En talföljd ${a_{n}}_{n = 1}^{\infty}$ sägs vara

uppåt begränsad om det finns ett tal $M \in R$ så att $a_{n} \leq M, \forall n$
nedåt begränsad om det finns ett tal $m \in R$ så att $a_{n} \geq m, \forall n$
begränsad om 1) + 2) gäller
(strängt) växande om $a_{n} \leq a_{m}, \forall n < m$
(strängt) avtagande om $a_{n} \geq a_{m}, \forall n < m$
(strängt) monoton om 4) eller 5) gäller

Delföljd

En delfölj av en talfölj ${a_{n}}_{n = 1}^{\infty}$ är en talfölj på formen ${a_{n_{j}}}_{j = 1}^{\infty}$ där ${n_{j}}_{j = 1}^{\infty}$ är en strängt växande talfölj av naturliga tal.

Till exempel är ${a_{2 j}}_{j = 1}^{\infty}$ är en delföljd av ${a_{n}}_{n = 1}^{\infty}$

Kombination av talföljder

Om ${a_{n}}_{n = 1}^{\infty}$ och ${b_{n}}_{n = 1}^{\infty}$ är talföljder kan vi kombinera dem till nya talföljder på följande sätt:

{a_{n} + b_{n}}_{n = 1}^{\infty}

{a_{n} b_{n}}_{n = 1}^{\infty}

{\frac{a_{n}}{b_{n}}}_{n = 1}^{\infty} b_{n} \neq 0 \forall n

Warning

Det behöver inte vara samma index $n$ i båda talföljder

Gränsvärden i talföljder

En talföljd ${a_{n}}_{n = 1}^{\infty}$ sägs konvergera mot gränsvärdet $A$ om det för varje $ϵ > 0$ finns ett tal $N$ så att:

| a_{n} - A | < ϵ om n > N

Detta skrivs:

lim_{n \to \infty} a_{n} = A

a_{n} \to A när n \to \infty

En talföljd med denna egenskapen kallas konvergent. Annars kallas den divergent.